解決{l}{m+n=1}{2n-3m=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$m+n=1$$

從方程式兩邊減去 n。

$$m=-n+1$$

在另一個方程式 -3m+2n=-2 中以 -n+1 代入 m在方程式。

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

-3 乘上 -n+1。

$$3n-3+2n=-2$$

將 3n 加到 2n。

$$5n-3=-2$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$5n=1$$

將兩邊同時除以 5。

$$n=\frac{1}{5}$$

在 m=-n+1 中以 \frac{1}{5} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

將 1 加到 -\frac{1}{5}。

$$m=\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

讓 m 和 -3m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3m-3n=-3 減去 -3m+2n=-2。

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

將 -3m 加到 3m。 -3m 和 3m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3n-2n=-3+2$$

將 -3n 加到 -2n。

$$-5n=-3+2$$

將 -3 加到 2。

$$-5n=-1$$

將兩邊同時除以 -5。

$$n=\frac{1}{5}$$

在 -3m+2n=-2 中以 \frac{1}{5} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

2 乘上 \frac{1}{5}。

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{5}。

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

將兩邊同時除以 -3。

$$m=\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$