解決{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$fx-y=7$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9x。

$$fy-9x=8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$fx-y=7$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$fx=y+7$$

將兩邊同時除以 f。

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} 乘上 y+7。

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

在另一個方程式 -9x+fy=8 中以 \frac{7+y}{f} 代入 x在方程式。

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 乘上 \frac{7+y}{f}。

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

將 -\frac{9y}{f} 加到 fy。

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

將 \frac{63}{f} 加到方程式的兩邊。

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

將兩邊同時除以 f-\frac{9}{f}。

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

在 x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} 中以 \frac{63+8f}{f^{2}-9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} 乘上 \frac{63+8f}{f^{2}-9}。

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

將 \frac{7}{f} 加到 \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}。

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$fx-y=7$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9x。

$$fy-9x=8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$fx-y=7$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9x。

$$fy-9x=8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

讓 fx 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 f。

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

化簡。

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-9f\right)x+9y=-63 減去 \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f。

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

將 -9fx 加到 9fx。 -9fx 和 9fx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

將 9y 加到 -f^{2}y。

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

將 -63 加到 -8f。

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

將兩邊同時除以 -f^{2}+9。

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

在 -9x+fy=8 中以 -\frac{63+8f}{9-f^{2}} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f 乘上 -\frac{63+8f}{9-f^{2}}。

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

將 \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} 加到方程式的兩邊。

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

解 x、y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$fx-y=7$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9x。

$$fy-9x=8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$fx-y=7$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$fx=y+7$$

將兩邊同時除以 f。

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} 乘上 y+7。

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

在另一個方程式 -9x+fy=8 中以 \frac{7+y}{f} 代入 x在方程式。

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 乘上 \frac{7+y}{f}。

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

將 -\frac{9y}{f} 加到 fy。

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

將 \frac{63}{f} 加到方程式的兩邊。

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

將兩邊同時除以 f-\frac{9}{f}。

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

在 x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} 中以 \frac{63+8f}{f^{2}-9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} 乘上 \frac{63+8f}{f^{2}-9}。

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

將 \frac{7}{f} 加到 \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}。

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$fx-y=7$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9x。

$$fy-9x=8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$fx-y=7$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9x。

$$fy-9x=8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

讓 fx 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 f。

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

化簡。

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-9f\right)x+9y=-63 減去 \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f。

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

將 -9fx 加到 9fx。 -9fx 和 9fx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

將 9y 加到 -f^{2}y。

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

將 -63 加到 -8f。

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

將兩邊同時除以 -f^{2}+9。

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

在 -9x+fy=8 中以 -\frac{63+8f}{9-f^{2}} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f 乘上 -\frac{63+8f}{9-f^{2}}。

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

將 \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} 加到方程式的兩邊。

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$