解決{l}{cx+y=69}{2x+y=87} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$cx+y=69,2x+y=87$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$cx+y=69$$

從方程式兩邊減去 y。

$$cx=-y+69$$

將兩邊同時除以 c。

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{c} 乘上 -y+69。

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

在另一個方程式 2x+y=87 中以 \frac{69-y}{c} 代入 x在方程式。

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

2 乘上 \frac{69-y}{c}。

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

將 -\frac{2y}{c} 加到 y。

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

從方程式兩邊減去 \frac{138}{c}。

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

將兩邊同時除以 \frac{-2+c}{c}。

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

在 x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c} 中以 \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

-\frac{1}{c} 乘上 \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}。

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

將 \frac{69}{c} 加到 -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}。

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$cx+y=69,2x+y=87$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$cx+y=69,2x+y=87$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 cx+y=69 減去 2x+y=87。

$$cx-2x+y-y=69-87$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$cx-2x=69-87$$

將 cx 加到 -2x。

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

將 69 加到 -87。

$$\left(c-2\right)x=-18$$

將兩邊同時除以 c-2。

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

在 2x+y=87 中以 -\frac{18}{c-2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

2 乘上 -\frac{18}{c-2}。

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

將 \frac{36}{c-2} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$