解決{l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$12bx-15y=-4$$

將 15y 加到方程式的兩邊。

$$12bx=15y-4$$

將兩邊同時除以 12b。

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b} 乘上 15y-4。

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

在另一個方程式 16x+10y=7 中以 \frac{-4+15y}{12b} 代入 x在方程式。

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16 乘上 \frac{-4+15y}{12b}。

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

將 \frac{20y}{b} 加到 10y。

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

將 \frac{16}{3b} 加到方程式的兩邊。

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

將兩邊同時除以 \frac{20}{b}+10。

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

在 x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} 中以 \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b} 乘上 \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}。

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

將 -\frac{1}{3b} 加到 \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}。

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

讓 12bx 和 16x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 16，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 12b。

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

化簡。

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 192bx-240y=-64 減去 192bx+120by=84b。

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

將 192bx 加到 -192bx。 192bx 和 -192bx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

將 -240y 加到 -120by。

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

將 -64 加到 -84b。

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

將兩邊同時除以 -240-120b。

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

在 16x+10y=7 中以 \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10 乘上 \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}。

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)}。

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

將兩邊同時除以 16。

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$