解決{l}{ax+y+1=0}{x+y-a=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { a x + y + 1 = 0 } \\ { x + y - a = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

$$a\neq 1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$ax+y+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$ax+y=-1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$ax=-y-1$$

將兩邊同時除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{a} 乘上 -y-1。

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}$$

在另一個方程式 x+y-a=0 中以 -\frac{1+y}{a} 代入 x在方程式。

$$\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}+y-a=0$$

將 -\frac{y}{a} 加到 y。

$$\frac{a-1}{a}y-\frac{1}{a}-a=0$$

將 -\frac{1}{a} 加到 -a。

$$\frac{a-1}{a}y-a-\frac{1}{a}=0$$

從方程式兩邊減去 -\frac{1}{a}-a。

$$\frac{a-1}{a}y=a+\frac{1}{a}$$

將兩邊同時除以 \frac{-1+a}{a}。

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

在 x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a} 中以 \frac{a^{2}+1}{-1+a} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)\times \frac{a^{2}+1}{a-1}-\frac{1}{a}$$

-\frac{1}{a} 乘上 \frac{a^{2}+1}{-1+a}。

$$x=-\frac{a^{2}+1}{a\left(a-1\right)}-\frac{1}{a}$$

將 -\frac{1}{a} 加到 -\frac{a^{2}+1}{a\left(-1+a\right)}。

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}&-\frac{1}{a-1}\\-\frac{1}{a-1}&\frac{a}{a-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}\left(-1\right)+\left(-\frac{1}{a-1}\right)a\\\left(-\frac{1}{a-1}\right)\left(-1\right)+\frac{a}{a-1}a\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a+1}{a-1}\\\frac{a^{2}+1}{a-1}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 ax+y+1=0 減去 x+y-a=0。

$$ax-x+y-y+1+a=0$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$ax-x+1+a=0$$

將 ax 加到 -x。

$$\left(a-1\right)x+1+a=0$$

將 1 加到 a。

$$\left(a-1\right)x+a+1=0$$

從方程式兩邊減去 1+a。

$$\left(a-1\right)x=-\left(a+1\right)$$

將兩邊同時除以 a-1。

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

在 x+y-a=0 中以 -\frac{1+a}{a-1} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-\frac{a+1}{a-1}+y-a=0$$

將 -\frac{1+a}{a-1} 加到 -a。

$$y-\frac{a^{2}+1}{a-1}=0$$

將 \frac{1+a^{2}}{a-1} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$