解決{l}{adiv4-12=b}{adiv5=b} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { a \div 4 - 12 = b } \\ { a \div 5 = b } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=240$$

$$b=48$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 b。

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$\frac{a}{4}-b=12$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$a-4b=48$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 b。

$$\frac{a}{5}-b=0$$

對方程式兩邊同時乘上 5。

$$a-5b=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a-4b=48,a-5b=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a-4b=48$$

將 4b 加到方程式的兩邊。

$$a=4b+48$$

在另一個方程式 a-5b=0 中以 48+4b 代入 a在方程式。

$$4b+48-5b=0$$

將 4b 加到 -5b。

$$-b+48=0$$

從方程式兩邊減去 48。

$$-b=-48$$

將兩邊同時除以 -1。

$$b=48$$

在 a=4b+48 中以 48 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=4\times 48+48$$

4 乘上 48。

$$a=192+48$$

將 48 加到 192。

$$a=240$$

現已成功解出系統。

$$a=240,b=48$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 b。

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$\frac{a}{4}-b=12$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$a-4b=48$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 b。

$$\frac{a}{5}-b=0$$

對方程式兩邊同時乘上 5。

$$a-5b=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a-4b=48,a-5b=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 48\\48\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\48\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=240,b=48$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 b。

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$\frac{a}{4}-b=12$$

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$a-4b=48$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 b。

$$\frac{a}{5}-b=0$$

對方程式兩邊同時乘上 5。

$$a-5b=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a-4b=48,a-5b=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a-4b=48 減去 a-5b=0。

$$a-a-4b+5b=48$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4b+5b=48$$

將 -4b 加到 5b。

$$b=48$$

在 a-5b=0 中以 48 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-5\times 48=0$$

-5 乘上 48。

$$a-240=0$$

將 240 加到方程式的兩邊。

$$a=240$$

現已成功解出系統。

$$a=240,b=48$$