解決{l}{a=b}{a+b=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { a = b } \\ { a + b = 5 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 b。

$$a-b=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a-b=0,a+b=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a-b=0$$

將 b 加到方程式的兩邊。

$$a=b$$

在另一個方程式 a+b=5 中以 b 代入 a在方程式。

$$b+b=5$$

將 b 加到 b。

$$2b=5$$

將兩邊同時除以 2。

$$b=\frac{5}{2}$$

在 a=b 中以 \frac{5}{2} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 b。

$$a-b=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a-b=0,a+b=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 b。

$$a-b=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a-b=0,a+b=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a-b=0 減去 a+b=5。

$$a-a-b-b=-5$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-b-b=-5$$

將 -b 加到 -b。

$$-2b=-5$$

將兩邊同時除以 -2。

$$b=\frac{5}{2}$$

在 a+b=5 中以 \frac{5}{2} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a+\frac{5}{2}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$a=\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$