解決{l}{a+2b=5}{a-2b=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 5 } \\ { a - 2 b = - 3 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=1$$

$$b=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+2b=5,a-2b=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+2b=5$$

從方程式兩邊減去 2b。

$$a=-2b+5$$

在另一個方程式 a-2b=-3 中以 -2b+5 代入 a在方程式。

$$-2b+5-2b=-3$$

將 -2b 加到 -2b。

$$-4b+5=-3$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-4b=-8$$

將兩邊同時除以 -4。

$$b=2$$

在 a=-2b+5 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-2\times 2+5$$

-2 乘上 2。

$$a=-4+5$$

將 5 加到 -4。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+2b=5,a-2b=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=1,b=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+2b=5,a-2b=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a+2b=5 減去 a-2b=-3。

$$a-a+2b+2b=5+3$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2b+2b=5+3$$

將 2b 加到 2b。

$$4b=5+3$$

將 5 加到 3。

$$4b=8$$

將兩邊同時除以 4。

$$b=2$$

在 a-2b=-3 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-2\times 2=-3$$

-2 乘上 2。

$$a-4=-3$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=2$$