解決{l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$Ax+By=C$$

從方程式兩邊減去 By。

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

將兩邊同時除以 A。

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

\frac{1}{A} 乘上 -By+C。

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

在另一個方程式 Dx+Cy=F 中以 \frac{-By+C}{A} 代入 x在方程式。

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

D 乘上 \frac{-By+C}{A}。

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

將 -\frac{DBy}{A} 加到 Cy。

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

從方程式兩邊減去 \frac{DC}{A}。

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

將兩邊同時除以 C-\frac{DB}{A}。

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

在 x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} 中以 \frac{FA-DC}{CA-DB} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B}{A} 乘上 \frac{FA-DC}{CA-DB}。

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

將 \frac{C}{A} 加到 -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}。

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

讓 Ax 和 Dx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 D，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 A。

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

化簡。

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 ADx+BDy=CD 減去 ADx+ACy=AF。

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

將 DAx 加到 -DAx。 DAx 和 -DAx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

將 DBy 加到 -ACy。

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

將兩邊同時除以 DB-AC。

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

在 Dx+Cy=F 中以 \frac{DC-AF}{DB-AC} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

C 乘上 \frac{DC-AF}{DB-AC}。

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

從方程式兩邊減去 \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC}。

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

將兩邊同時除以 D。

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$