解決{l}{A+B+1=0}{A-2B=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

解 A、B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 A: 將 A 單獨置於等號的左邊。

$$A+B+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$A+B=-1$$

從方程式兩邊減去 B。

$$A=-B-1$$

在另一個方程式 A-2B=3 中以 -B-1 代入 A在方程式。

$$-B-1-2B=3$$

將 -B 加到 -2B。

$$-3B-1=3$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$-3B=4$$

將兩邊同時除以 -3。

$$B=-\frac{4}{3}$$

在 A=-B-1 中以 -\frac{4}{3} 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

-1 乘上 -\frac{4}{3}。

$$A=\frac{4}{3}-1$$

將 -1 加到 \frac{4}{3}。

$$A=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 A 和 B。

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 A+B+1=0 減去 A-2B=3。

$$A-A+B+2B+1=-3$$

將 A 加到 -A。 A 和 -A 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$B+2B+1=-3$$

將 B 加到 2B。

$$3B+1=-3$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3B=-4$$

將兩邊同時除以 3。

$$B=-\frac{4}{3}$$

在 A-2B=3 中以 -\frac{4}{3} 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

-2 乘上 -\frac{4}{3}。

$$A+\frac{8}{3}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$A=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$