解決{l}{9x-7y=-19}{3x+y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x-7y=-19$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$9x=7y-19$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 7y-19。

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

在另一個方程式 3x+y=7 中以 \frac{7y-19}{9} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

3 乘上 \frac{7y-19}{9}。

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

將 \frac{7y}{3} 加到 y。

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

將 \frac{19}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

\frac{7}{9} 乘上 4。

$$x=\frac{28-19}{9}$$

將 -\frac{19}{9} 與 \frac{28}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

讓 9x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

化簡。

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27x-21y=-57 減去 27x+9y=63。

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

將 27x 加到 -27x。 27x 和 -27x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-21y-9y=-57-63$$

將 -21y 加到 -9y。

$$-30y=-57-63$$

將 -57 加到 -63。

$$-30y=-120$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=4$$

在 3x+y=7 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4=7$$

從方程式兩邊減去 4。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$