解決{l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x-3y-13=0$$

將 13 加到方程式的兩邊。

$$9x-3y=13$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$9x=3y+13$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 3y+13。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

在另一個方程式 2x+y-4=0 中以 \frac{y}{3}+\frac{13}{9} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

2 乘上 \frac{y}{3}+\frac{13}{9}。

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

將 \frac{2y}{3} 加到 y。

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

將 \frac{26}{9} 加到 -4。

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

將 \frac{10}{9} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{2}{3}$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9} 中以 \frac{2}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

\frac{1}{3} 乘上 \frac{2}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{2+13}{9}$$

將 \frac{13}{9} 與 \frac{2}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

讓 9x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

化簡。

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x-6y-26=0 減去 18x+9y-36=0。

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y-9y-26+36=0$$

將 -6y 加到 -9y。

$$-15y-26+36=0$$

將 -26 加到 36。

$$-15y+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-15y=-10$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=\frac{2}{3}$$

在 2x+y-4=0 中以 \frac{2}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

將 \frac{2}{3} 加到 -4。

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{10}{3}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$