解決{l}{9x+y=88}{7x-8y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x+y=88$$

從方程式兩邊減去 y。

$$9x=-y+88$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 -y+88。

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

在另一個方程式 7x-8y=7 中以 \frac{-y+88}{9} 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

7 乘上 \frac{-y+88}{9}。

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

將 -\frac{7y}{9} 加到 -8y。

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{616}{9}。

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{79}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=7$$

在 x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

-\frac{1}{9} 乘上 7。

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

將 \frac{88}{9} 與 -\frac{7}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

讓 9x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

化簡。

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 63x+7y=616 減去 63x-72y=63。

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

將 63x 加到 -63x。 63x 和 -63x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7y+72y=616-63$$

將 7y 加到 72y。

$$79y=616-63$$

將 616 加到 -63。

$$79y=553$$

將兩邊同時除以 79。

$$y=7$$

在 7x-8y=7 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-8\times 7=7$$

-8 乘上 7。

$$7x-56=7$$

將 56 加到方程式的兩邊。

$$7x=63$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=7$$