解決{l}{9x+7y=6}{8x+3y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x+7y=6$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$9x=-7y+6$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 -7y+6。

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 8x+3y=9 中以 -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

8 乘上 -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}。

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

將 -\frac{56y}{9} 加到 3y。

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{16}{3}。

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{33}{29}$$

在 x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3} 中以 -\frac{33}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

-\frac{7}{9} 乘上 -\frac{33}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{77}{87} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{45}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

讓 9x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

化簡。

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 72x+56y=48 減去 72x+27y=81。

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

將 72x 加到 -72x。 72x 和 -72x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$56y-27y=48-81$$

將 56y 加到 -27y。

$$29y=48-81$$

將 48 加到 -81。

$$29y=-33$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=-\frac{33}{29}$$

在 8x+3y=9 中以 -\frac{33}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

3 乘上 -\frac{33}{29}。

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

將 \frac{99}{29} 加到方程式的兩邊。

$$8x=\frac{360}{29}$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{45}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$