解決{l}{9x+13y=9}{2x+y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x+13y=9$$

從方程式兩邊減去 13y。

$$9x=-13y+9$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 -13y+9。

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

在另一個方程式 2x+y=11 中以 -\frac{13y}{9}+1 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

2 乘上 -\frac{13y}{9}+1。

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

將 -\frac{26y}{9} 加到 y。

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-\frac{17}{9}y=9$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{81}{17}$$

在 x=-\frac{13}{9}y+1 中以 -\frac{81}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

-\frac{13}{9} 乘上 -\frac{81}{17} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{117}{17}+1$$

將 1 加到 \frac{117}{17}。

$$x=\frac{134}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

讓 9x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

化簡。

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+26y=18 減去 18x+9y=99。

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$26y-9y=18-99$$

將 26y 加到 -9y。

$$17y=18-99$$

將 18 加到 -99。

$$17y=-81$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=-\frac{81}{17}$$

在 2x+y=11 中以 -\frac{81}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

將 \frac{81}{17} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{268}{17}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{134}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$