解決{l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

解 v、w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 v: 將 v 單獨置於等號的左邊。

$$9v+2w=7$$

從方程式兩邊減去 2w。

$$9v=-2w+7$$

將兩邊同時除以 9。

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 -2w+7。

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

在另一個方程式 3v-8w=-2 中以 \frac{-2w+7}{9} 代入 v在方程式。

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

3 乘上 \frac{-2w+7}{9}。

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

將 -\frac{2w}{3} 加到 -8w。

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{3}。

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{26}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$w=\frac{1}{2}$$

在 v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9} 中以 \frac{1}{2} 代入 w。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 v。

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

-\frac{2}{9} 乘上 \frac{1}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

將 \frac{7}{9} 與 -\frac{1}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$v=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 v 和 w。

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

讓 9v 和 3v 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

化簡。

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27v+6w=21 減去 27v-72w=-18。

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

將 27v 加到 -27v。 27v 和 -27v 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6w+72w=21+18$$

將 6w 加到 72w。

$$78w=21+18$$

將 21 加到 18。

$$78w=39$$

將兩邊同時除以 78。

$$w=\frac{1}{2}$$

在 3v-8w=-2 中以 \frac{1}{2} 代入 w。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 v。

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

-8 乘上 \frac{1}{2}。

$$3v-4=-2$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$3v=2$$

將兩邊同時除以 3。

$$v=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$