解決{l}{9a-3b=6}{12a=9b+3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 9 a - 3 b = 6 } \\ { 12 a = 9 b + 3 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=1$$

$$b=1$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9b。

$$12a-9b=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$9a-3b=6$$

將 3b 加到方程式的兩邊。

$$9a=3b+6$$

將兩邊同時除以 9。

$$a=\frac{1}{9}\left(3b+6\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 6+3b。

$$a=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 12a-9b=3 中以 \frac{2+b}{3} 代入 a在方程式。

$$12\left(\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}\right)-9b=3$$

12 乘上 \frac{2+b}{3}。

$$4b+8-9b=3$$

將 4b 加到 -9b。

$$-5b+8=3$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-5b=-5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$b=1$$

在 a=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3} 中以 1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{1+2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9b。

$$12a-9b=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}&\frac{9}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6-\frac{1}{15}\times 3\\\frac{4}{15}\times 6-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=1,b=1$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9b。

$$12a-9b=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

讓 9a 和 12a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 12，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$12\times 9a+12\left(-3\right)b=12\times 6,9\times 12a+9\left(-9\right)b=9\times 3$$

化簡。

$$108a-36b=72,108a-81b=27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 108a-36b=72 減去 108a-81b=27。

$$108a-108a-36b+81b=72-27$$

將 108a 加到 -108a。 108a 和 -108a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-36b+81b=72-27$$

將 -36b 加到 81b。

$$45b=72-27$$

將 72 加到 -27。

$$45b=45$$

將兩邊同時除以 45。

$$b=1$$

在 12a-9b=3 中以 1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$12a-9=3$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$12a=12$$

將兩邊同時除以 12。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=1$$