解決{l}{800=x+20y}{700=x+15y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$x+20y=800$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$x+15y=700$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+20y=800,x+15y=700$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+20y=800$$

從方程式兩邊減去 20y。

$$x=-20y+800$$

在另一個方程式 x+15y=700 中以 -20y+800 代入 x在方程式。

$$-20y+800+15y=700$$

將 -20y 加到 15y。

$$-5y+800=700$$

從方程式兩邊減去 800。

$$-5y=-100$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=20$$

在 x=-20y+800 中以 20 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-20\times 20+800$$

-20 乘上 20。

$$x=-400+800$$

將 800 加到 -400。

$$x=400$$

現已成功解出系統。

$$x=400,y=20$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$x+20y=800$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$x+15y=700$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+20y=800,x+15y=700$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=400,y=20$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$x+20y=800$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$x+15y=700$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+20y=800,x+15y=700$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+20y=800 減去 x+15y=700。

$$x-x+20y-15y=800-700$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-15y=800-700$$

將 20y 加到 -15y。

$$5y=800-700$$

將 800 加到 -700。

$$5y=100$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=20$$

在 x+15y=700 中以 20 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+15\times 20=700$$

15 乘上 20。

$$x+300=700$$

從方程式兩邊減去 300。

$$x=400$$

現已成功解出系統。

$$x=400,y=20$$