解決{l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$80x+160y=4$$

從方程式兩邊減去 160y。

$$80x=-160y+4$$

將兩邊同時除以 80。

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} 乘上 -160y+4。

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

在另一個方程式 x+3y=0.1 中以 -2y+\frac{1}{20} 代入 x在方程式。

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

將 -2y 加到 3y。

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{20}。

$$y=\frac{1}{20}$$

在 x=-2y+\frac{1}{20} 中以 \frac{1}{20} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

-2 乘上 \frac{1}{20}。

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

將 \frac{1}{20} 與 -\frac{1}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{1}{20}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

讓 80x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 80。

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

化簡。

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 80x+160y=4 減去 80x+240y=8。

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

將 80x 加到 -80x。 80x 和 -80x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$160y-240y=4-8$$

將 160y 加到 -240y。

$$-80y=4-8$$

將 4 加到 -8。

$$-80y=-4$$

將兩邊同時除以 -80。

$$y=\frac{1}{20}$$

在 x+3y=0.1 中以 \frac{1}{20} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

3 乘上 \frac{1}{20}。

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{20}。

$$x=-\frac{1}{20}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$