解決{l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$80x+160y=4$$

從方程式兩邊減去 160y。

$$80x=-160y+4$$

將兩邊同時除以 80。

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} 乘上 -160y+4。

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

在另一個方程式 5600x+5600y=5536 中以 -2y+\frac{1}{20} 代入 x在方程式。

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

5600 乘上 -2y+\frac{1}{20}。

$$-11200y+280+5600y=5536$$

將 -11200y 加到 5600y。

$$-5600y+280=5536$$

從方程式兩邊減去 280。

$$-5600y=5256$$

將兩邊同時除以 -5600。

$$y=-\frac{657}{700}$$

在 x=-2y+\frac{1}{20} 中以 -\frac{657}{700} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-2 乘上 -\frac{657}{700}。

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

將 \frac{1}{20} 與 \frac{657}{350} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1349}{700}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

讓 80x 和 5600x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5600，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 80。

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

化簡。

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 448000x+896000y=22400 減去 448000x+448000y=442880。

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

將 448000x 加到 -448000x。 448000x 和 -448000x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$896000y-448000y=22400-442880$$

將 896000y 加到 -448000y。

$$448000y=22400-442880$$

將 22400 加到 -442880。

$$448000y=-420480$$

將兩邊同時除以 448000。

$$y=-\frac{657}{700}$$

在 5600x+5600y=5536 中以 -\frac{657}{700} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

5600 乘上 -\frac{657}{700}。

$$5600x-5256=5536$$

將 5256 加到方程式的兩邊。

$$5600x=10792$$

將兩邊同時除以 5600。

$$x=\frac{1349}{700}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$