解 x、y
x=1
y=1
圖表
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8x-5y=3
考慮第一個方程式。 新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
y-3x=\frac{-10}{5}
考慮第二個方程式。 將兩邊同時除以 5。
y-3x=-2
將 -10 除以 5 以得到 -2。
8x-5y=3,-3x+y=-2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
8x-5y=3
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
8x=5y+3
將 5y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)
將兩邊同時除以 8。
x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}
\frac{1}{8} 乘上 5y+3。
-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2
在另一個方程式 -3x+y=-2 中以 \frac{5y+3}{8} 代入 x在方程式。
-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2
-3 乘上 \frac{5y+3}{8}。
-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2
將 -\frac{15y}{8} 加到 y。
-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}
將 \frac{9}{8} 加到方程式的兩邊。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{8},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{5+3}{8}
在 x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=1
將 \frac{3}{8} 與 \frac{5}{8} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=1
現已成功解出系統。
8x-5y=3
考慮第一個方程式。 新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
y-3x=\frac{-10}{5}
考慮第二個方程式。 將兩邊同時除以 5。
y-3x=-2
將 -10 除以 5 以得到 -2。
8x-5y=3,-3x+y=-2
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
8x-5y=3
考慮第一個方程式。 新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
y-3x=\frac{-10}{5}
考慮第二個方程式。 將兩邊同時除以 5。
y-3x=-2
將 -10 除以 5 以得到 -2。
8x-5y=3,-3x+y=-2
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)
讓 8x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。
-24x+15y=-9,-24x+8y=-16
化簡。
-24x+24x+15y-8y=-9+16
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 -24x+15y=-9 減去 -24x+8y=-16。
15y-8y=-9+16
將 -24x 加到 24x。 -24x 和 24x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
7y=-9+16
將 15y 加到 -8y。
7y=7
將 -9 加到 16。
y=1
將兩邊同時除以 7。
-3x+1=-2
在 -3x+y=-2 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
-3x=-3
從方程式兩邊減去 1。
x=1
將兩邊同時除以 -3。
x=1,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}