解決{l}{8x-5y=10}{6x-4y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x-5y=10$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$8x=5y+10$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 10+5y。

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 6x-4y=11 中以 \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

6 乘上 \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}。

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

將 \frac{15y}{4} 加到 -4y。

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

將兩邊同時乘上 -4。

$$y=-14$$

在 x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} 中以 -14 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{5}{8} 乘上 -14。

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{35}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{15}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

讓 8x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

化簡。

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 48x-30y=60 減去 48x-32y=88。

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

將 48x 加到 -48x。 48x 和 -48x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-30y+32y=60-88$$

將 -30y 加到 32y。

$$2y=60-88$$

將 60 加到 -88。

$$2y=-28$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-14$$

在 6x-4y=11 中以 -14 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-4 乘上 -14。

$$6x+56=11$$

從方程式兩邊減去 56。

$$6x=-45$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-\frac{15}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$