解決{l}{8x+y=67}{4x+7y=51} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 67 } \\ { 4 x + 7 y = 51 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{209}{26} = 8\frac{1}{26} \approx 8.038461538$$

$$y = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+y=67$$

從方程式兩邊減去 y。

$$8x=-y+67$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+67\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -y+67。

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}$$

在另一個方程式 4x+7y=51 中以 \frac{-y+67}{8} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}\right)+7y=51$$

4 乘上 \frac{-y+67}{8}。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{67}{2}+7y=51$$

將 -\frac{y}{2} 加到 7y。

$$\frac{13}{2}y+\frac{67}{2}=51$$

從方程式兩邊減去 \frac{67}{2}。

$$\frac{13}{2}y=\frac{35}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{35}{13}$$

在 x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8} 中以 \frac{35}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{35}{13}+\frac{67}{8}$$

-\frac{1}{8} 乘上 \frac{35}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{35}{104}+\frac{67}{8}$$

將 \frac{67}{8} 與 -\frac{35}{104} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{209}{26}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8\times 7-4}&-\frac{1}{8\times 7-4}\\-\frac{4}{8\times 7-4}&\frac{8}{8\times 7-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}&-\frac{1}{52}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}\times 67-\frac{1}{52}\times 51\\-\frac{1}{13}\times 67+\frac{2}{13}\times 51\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209}{26}\\\frac{35}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

讓 8x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$4\times 8x+4y=4\times 67,8\times 4x+8\times 7y=8\times 51$$

化簡。

$$32x+4y=268,32x+56y=408$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x+4y=268 減去 32x+56y=408。

$$32x-32x+4y-56y=268-408$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-56y=268-408$$

將 4y 加到 -56y。

$$-52y=268-408$$

將 268 加到 -408。

$$-52y=-140$$

將兩邊同時除以 -52。

$$y=\frac{35}{13}$$

在 4x+7y=51 中以 \frac{35}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+7\times \frac{35}{13}=51$$

7 乘上 \frac{35}{13}。

$$4x+\frac{245}{13}=51$$

從方程式兩邊減去 \frac{245}{13}。

$$4x=\frac{418}{13}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{209}{26}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$