解決{l}{8x+y=64}{x+y=42} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+y=64,x+y=42$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+y=64$$

從方程式兩邊減去 y。

$$8x=-y+64$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -y+64。

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

在另一個方程式 x+y=42 中以 -\frac{y}{8}+8 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

將 -\frac{y}{8} 加到 y。

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

從方程式兩邊減去 8。

$$\frac{7}{8}y=34$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{8}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{272}{7}$$

在 x=-\frac{1}{8}y+8 中以 \frac{272}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

-\frac{1}{8} 乘上 \frac{272}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

將 8 加到 -\frac{34}{7}。

$$x=\frac{22}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+y=64,x+y=42$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+y=64,x+y=42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+y=64 減去 x+y=42。

$$8x-x+y-y=64-42$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8x-x=64-42$$

將 8x 加到 -x。

$$7x=64-42$$

將 64 加到 -42。

$$7x=22$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{22}{7}$$

在 x+y=42 中以 \frac{22}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$\frac{22}{7}+y=42$$

從方程式兩邊減去 \frac{22}{7}。

$$y=\frac{272}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$