解決{l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+4y=-4$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$8x=-4y-4$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -4y-4。

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 4x-2y=8 中以 \frac{-y-1}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

4 乘上 \frac{-y-1}{2}。

$$-2y-2-2y=8$$

將 -2y 加到 -2y。

$$-4y-2=8$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-4y=10$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=-\frac{5}{2}$$

在 x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} 中以 -\frac{5}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -\frac{5}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

將 -\frac{1}{2} 與 \frac{5}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{3}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

讓 8x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

化簡。

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x+16y=-16 減去 32x-16y=64。

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y+16y=-16-64$$

將 16y 加到 16y。

$$32y=-16-64$$

將 -16 加到 -64。

$$32y=-80$$

將兩邊同時除以 32。

$$y=-\frac{5}{2}$$

在 4x-2y=8 中以 -\frac{5}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

-2 乘上 -\frac{5}{2}。

$$4x+5=8$$

從方程式兩邊減去 5。

$$4x=3$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{3}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$