解決{l}{8x+2y=104}{1x+1y=25} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=16$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+2y=104,x+y=25$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+2y=104$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$8x=-2y+104$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -2y+104。

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

在另一個方程式 x+y=25 中以 -\frac{y}{4}+13 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

將 -\frac{y}{4} 加到 y。

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

從方程式兩邊減去 13。

$$\frac{3}{4}y=12$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=16$$

在 x=-\frac{1}{4}y+13 中以 16 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

-\frac{1}{4} 乘上 16。

$$x=-4+13$$

將 13 加到 -4。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=16$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+2y=104,x+y=25$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=16$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+2y=104,x+y=25$$

讓 8x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

化簡。

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+2y=104 減去 8x+8y=200。

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-8y=104-200$$

將 2y 加到 -8y。

$$-6y=104-200$$

將 104 加到 -200。

$$-6y=-96$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=16$$

在 x+y=25 中以 16 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+16=25$$

從方程式兩邊減去 16。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=16$$