解決{l}{8a-b=9}{4a+9b=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$8a-b=9$$

將 b 加到方程式的兩邊。

$$8a=b+9$$

將兩邊同時除以 8。

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 b+9。

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

在另一個方程式 4a+9b=7 中以 \frac{9+b}{8} 代入 a在方程式。

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

4 乘上 \frac{9+b}{8}。

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

將 \frac{b}{2} 加到 9b。

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=\frac{5}{19}$$

在 a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8} 中以 \frac{5}{19} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

\frac{1}{8} 乘上 \frac{5}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

將 \frac{9}{8} 與 \frac{5}{152} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

讓 8a 和 4a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

化簡。

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32a-4b=36 減去 32a+72b=56。

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

將 32a 加到 -32a。 32a 和 -32a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4b-72b=36-56$$

將 -4b 加到 -72b。

$$-76b=36-56$$

將 36 加到 -56。

$$-76b=-20$$

將兩邊同時除以 -76。

$$b=\frac{5}{19}$$

在 4a+9b=7 中以 \frac{5}{19} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

9 乘上 \frac{5}{19}。

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{45}{19}。

$$4a=\frac{88}{19}$$

將兩邊同時除以 4。

$$a=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$