解決{l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$8+4x-2y=0$$

從兩邊減去 8。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4x-2y=-8$$

考慮第二個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$-4x+3y=14$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y=-8$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y-8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -8+2y。

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

在另一個方程式 -4x+3y=14 中以 \frac{y}{2}-2 代入 x在方程式。

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

-4 乘上 \frac{y}{2}-2。

$$-2y+8+3y=14$$

將 -2y 加到 3y。

$$y+8=14$$

從方程式兩邊減去 8。

$$y=6$$

在 x=\frac{1}{2}y-2 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

\frac{1}{2} 乘上 6。

$$x=3-2$$

將 -2 加到 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=6$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$8+4x-2y=0$$

從兩邊減去 8。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4x-2y=-8$$

考慮第二個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$-4x+3y=14$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=6$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$8+4x-2y=0$$

從兩邊減去 8。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4x-2y=-8$$

考慮第二個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$-4x+3y=14$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

讓 4x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

化簡。

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x+8y=32 減去 -16x+12y=56。

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-12y=32-56$$

將 8y 加到 -12y。

$$-4y=32-56$$

將 32 加到 -56。

$$-4y=-24$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=6$$

在 -4x+3y=14 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+3\times 6=14$$

3 乘上 6。

$$-4x+18=14$$

從方程式兩邊減去 18。

$$-4x=-4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=6$$