解決{l}{73x-7y=66}{18x+98y=25} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$73x-7y=66$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$73x=7y+66$$

將兩邊同時除以 73。

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

\frac{1}{73} 乘上 7y+66。

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

在另一個方程式 18x+98y=25 中以 \frac{7y+66}{73} 代入 x在方程式。

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

18 乘上 \frac{7y+66}{73}。

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

將 \frac{126y}{73} 加到 98y。

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

從方程式兩邊減去 \frac{1188}{73}。

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7280}{73}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{7}{80}$$

在 x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73} 中以 \frac{7}{80} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

\frac{7}{73} 乘上 \frac{7}{80} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

將 \frac{66}{73} 與 \frac{49}{5840} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{73}{80}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

讓 73x 和 18x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 18，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 73。

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

化簡。

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 1314x-126y=1188 減去 1314x+7154y=1825。

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

將 1314x 加到 -1314x。 1314x 和 -1314x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-126y-7154y=1188-1825$$

將 -126y 加到 -7154y。

$$-7280y=1188-1825$$

將 1188 加到 -1825。

$$-7280y=-637$$

將兩邊同時除以 -7280。

$$y=\frac{7}{80}$$

在 18x+98y=25 中以 \frac{7}{80} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

98 乘上 \frac{7}{80}。

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

從方程式兩邊減去 \frac{343}{40}。

$$18x=\frac{657}{40}$$

將兩邊同時除以 18。

$$x=\frac{73}{80}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$