解決{l}{7x-2y=11}{x+y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 11 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-2y=11,x+y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-2y=11$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$7x=2y+11$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+11\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 2y+11。

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}$$

在另一個方程式 x+y=8 中以 \frac{2y+11}{7} 代入 x在方程式。

$$\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}+y=8$$

將 \frac{2y}{7} 加到 y。

$$\frac{9}{7}y+\frac{11}{7}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{11}{7}。

$$\frac{9}{7}y=\frac{45}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{7}\times 5+\frac{11}{7}$$

\frac{2}{7} 乘上 5。

$$x=\frac{10+11}{7}$$

將 \frac{11}{7} 與 \frac{10}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-2y=11,x+y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{2}{9}\times 8\\-\frac{1}{9}\times 11+\frac{7}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-2y=11,x+y=8$$

讓 7x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$7x-2y=11,7x+7y=7\times 8$$

化簡。

$$7x-2y=11,7x+7y=56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-2y=11 減去 7x+7y=56。

$$7x-7x-2y-7y=11-56$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-7y=11-56$$

將 -2y 加到 -7y。

$$-9y=11-56$$

將 11 加到 -56。

$$-9y=-45$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=5$$

在 x+y=8 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+5=8$$

從方程式兩邊減去 5。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=5$$