解決{l}{7x=y+39}{11x=y-9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$7x-y=39$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$11x-y=-9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-y=39$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$7x=y+39$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 y+39。

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

在另一個方程式 11x-y=-9 中以 \frac{39+y}{7} 代入 x在方程式。

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

11 乘上 \frac{39+y}{7}。

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

將 \frac{11y}{7} 加到 -y。

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

從方程式兩邊減去 \frac{429}{7}。

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{4}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-123$$

在 x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7} 中以 -123 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

\frac{1}{7} 乘上 -123。

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

將 \frac{39}{7} 與 -\frac{123}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-12$$

現已成功解出系統。

$$x=-12,y=-123$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$7x-y=39$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$11x-y=-9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-12,y=-123$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$7x-y=39$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$11x-y=-9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-y=39 減去 11x-y=-9。

$$7x-11x-y+y=39+9$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7x-11x=39+9$$

將 7x 加到 -11x。

$$-4x=39+9$$

將 39 加到 9。

$$-4x=48$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-12$$

在 11x-y=-9 中以 -12 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

11 乘上 -12。

$$-132-y=-9$$

將 132 加到方程式的兩邊。

$$-y=123$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-123$$

現已成功解出系統。

$$x=-12,y=-123$$