解決{l}{7x+y=-9}{-3x-y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+y=-9$$

從方程式兩邊減去 y。

$$7x=-y-9$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -y-9。

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

在另一個方程式 -3x-y=5 中以 \frac{-y-9}{7} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

-3 乘上 \frac{-y-9}{7}。

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

將 \frac{3y}{7} 加到 -y。

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{27}{7}。

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{4}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

-\frac{1}{7} 乘上 -2。

$$x=\frac{2-9}{7}$$

將 -\frac{9}{7} 與 \frac{2}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

讓 7x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

化簡。

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -21x-3y=27 減去 -21x-7y=35。

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

將 -21x 加到 21x。 -21x 和 21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y+7y=27-35$$

將 -3y 加到 7y。

$$4y=27-35$$

將 27 加到 -35。

$$4y=-8$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-2$$

在 -3x-y=5 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-3x=3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-2$$