解決{l}{7x+8y=30}{8x-5y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+8y=30$$

從方程式兩邊減去 8y。

$$7x=-8y+30$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -8y+30。

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

在另一個方程式 8x-5y=6 中以 \frac{-8y+30}{7} 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

8 乘上 \frac{-8y+30}{7}。

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

將 -\frac{64y}{7} 加到 -5y。

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{240}{7}。

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{99}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

-\frac{8}{7} 乘上 2。

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

將 \frac{30}{7} 與 -\frac{16}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

讓 7x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

化簡。

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 56x+64y=240 減去 56x-35y=42。

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

將 56x 加到 -56x。 56x 和 -56x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$64y+35y=240-42$$

將 64y 加到 35y。

$$99y=240-42$$

將 240 加到 -42。

$$99y=198$$

將兩邊同時除以 99。

$$y=2$$

在 8x-5y=6 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x-5\times 2=6$$

-5 乘上 2。

$$8x-10=6$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$8x=16$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=2$$