解決{l}{7x+6y=-9}{3x-5y=34} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = - 9 } \\ { 3 x - 5 y = 34 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+6y=-9,3x-5y=34$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+6y=-9$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$7x=-6y-9$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y-9\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -6y-9。

$$x=-\frac{6}{7}y-\frac{9}{7}$$

在另一個方程式 3x-5y=34 中以 \frac{-6y-9}{7} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{6}{7}y-\frac{9}{7}\right)-5y=34$$

3 乘上 \frac{-6y-9}{7}。

$$-\frac{18}{7}y-\frac{27}{7}-5y=34$$

將 -\frac{18y}{7} 加到 -5y。

$$-\frac{53}{7}y-\frac{27}{7}=34$$

將 \frac{27}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{53}{7}y=\frac{265}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{53}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-5$$

在 x=-\frac{6}{7}y-\frac{9}{7} 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{6}{7}\left(-5\right)-\frac{9}{7}$$

-\frac{6}{7} 乘上 -5。

$$x=\frac{30-9}{7}$$

將 -\frac{9}{7} 與 \frac{30}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+6y=-9,3x-5y=34$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-6\times 3}&-\frac{6}{7\left(-5\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{7\left(-5\right)-6\times 3}&\frac{7}{7\left(-5\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{53}&\frac{6}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{53}\left(-9\right)+\frac{6}{53}\times 34\\\frac{3}{53}\left(-9\right)-\frac{7}{53}\times 34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+6y=-9,3x-5y=34$$

讓 7x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$3\times 7x+3\times 6y=3\left(-9\right),7\times 3x+7\left(-5\right)y=7\times 34$$

化簡。

$$21x+18y=-27,21x-35y=238$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 21x+18y=-27 減去 21x-35y=238。

$$21x-21x+18y+35y=-27-238$$

將 21x 加到 -21x。 21x 和 -21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y+35y=-27-238$$

將 18y 加到 35y。

$$53y=-27-238$$

將 -27 加到 -238。

$$53y=-265$$

將兩邊同時除以 53。

$$y=-5$$

在 3x-5y=34 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-5\left(-5\right)=34$$

-5 乘上 -5。

$$3x+25=34$$

從方程式兩邊減去 25。

$$3x=9$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-5$$