解決{l}{7x+5y=12}{8x-2y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+5y=12$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$7x=-5y+12$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -5y+12。

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

在另一個方程式 8x-2y=7 中以 \frac{-5y+12}{7} 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

8 乘上 \frac{-5y+12}{7}。

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

將 -\frac{40y}{7} 加到 -2y。

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{96}{7}。

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{54}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{47}{54}$$

在 x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} 中以 \frac{47}{54} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

-\frac{5}{7} 乘上 \frac{47}{54} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

將 \frac{12}{7} 與 -\frac{235}{378} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{59}{54}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

讓 7x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

化簡。

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 56x+40y=96 減去 56x-14y=49。

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

將 56x 加到 -56x。 56x 和 -56x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$40y+14y=96-49$$

將 40y 加到 14y。

$$54y=96-49$$

將 96 加到 -49。

$$54y=47$$

將兩邊同時除以 54。

$$y=\frac{47}{54}$$

在 8x-2y=7 中以 \frac{47}{54} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

-2 乘上 \frac{47}{54}。

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

將 \frac{47}{27} 加到方程式的兩邊。

$$8x=\frac{236}{27}$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{59}{54}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$