解決{l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+4y=52$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$7x=-4y+52$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -4y+52。

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

在另一個方程式 4x-4y=-8 中以 \frac{-4y+52}{7} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

4 乘上 \frac{-4y+52}{7}。

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

將 -\frac{16y}{7} 加到 -4y。

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

從方程式兩邊減去 \frac{208}{7}。

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{44}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=6$$

在 x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7} 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

-\frac{4}{7} 乘上 6。

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

將 \frac{52}{7} 與 -\frac{24}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

讓 7x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

化簡。

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x+16y=208 減去 28x-28y=-56。

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y+28y=208+56$$

將 16y 加到 28y。

$$44y=208+56$$

將 208 加到 56。

$$44y=264$$

將兩邊同時除以 44。

$$y=6$$

在 4x-4y=-8 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-4\times 6=-8$$

-4 乘上 6。

$$4x-24=-8$$

將 24 加到方程式的兩邊。

$$4x=16$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=6$$