解決{l}{7x+3y=4}{2x+4y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+3y=4$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$7x=-3y+4$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -3y+4。

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

在另一個方程式 2x+4y=8 中以 \frac{-3y+4}{7} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

2 乘上 \frac{-3y+4}{7}。

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

將 -\frac{6y}{7} 加到 4y。

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{7}。

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{22}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{24}{11}$$

在 x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7} 中以 \frac{24}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

-\frac{3}{7} 乘上 \frac{24}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

將 \frac{4}{7} 與 -\frac{72}{77} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{4}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

讓 7x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

化簡。

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x+6y=8 減去 14x+28y=56。

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-28y=8-56$$

將 6y 加到 -28y。

$$-22y=8-56$$

將 8 加到 -56。

$$-22y=-48$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=\frac{24}{11}$$

在 2x+4y=8 中以 \frac{24}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

4 乘上 \frac{24}{11}。

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{96}{11}。

$$2x=-\frac{8}{11}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-\frac{4}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$