解決{l}{7x+2y=19}{4x-3y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 19 } \\ { 4 x - 3 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{97}{29} = 3\frac{10}{29} \approx 3.344827586$$

$$y = -\frac{64}{29} = -2\frac{6}{29} \approx -2.206896552$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+2y=19,4x-3y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+2y=19$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$7x=-2y+19$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+19\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -2y+19。

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{19}{7}$$

在另一個方程式 4x-3y=20 中以 \frac{-2y+19}{7} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{2}{7}y+\frac{19}{7}\right)-3y=20$$

4 乘上 \frac{-2y+19}{7}。

$$-\frac{8}{7}y+\frac{76}{7}-3y=20$$

將 -\frac{8y}{7} 加到 -3y。

$$-\frac{29}{7}y+\frac{76}{7}=20$$

從方程式兩邊減去 \frac{76}{7}。

$$-\frac{29}{7}y=\frac{64}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{64}{29}$$

在 x=-\frac{2}{7}y+\frac{19}{7} 中以 -\frac{64}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{64}{29}\right)+\frac{19}{7}$$

-\frac{2}{7} 乘上 -\frac{64}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{128}{203}+\frac{19}{7}$$

將 \frac{19}{7} 與 \frac{128}{203} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{97}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{97}{29},y=-\frac{64}{29}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+2y=19,4x-3y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{7\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{4}{29}&-\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 19+\frac{2}{29}\times 20\\\frac{4}{29}\times 19-\frac{7}{29}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{29}\\-\frac{64}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{97}{29},y=-\frac{64}{29}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+2y=19,4x-3y=20$$

讓 7x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$4\times 7x+4\times 2y=4\times 19,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 20$$

化簡。

$$28x+8y=76,28x-21y=140$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x+8y=76 減去 28x-21y=140。

$$28x-28x+8y+21y=76-140$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y+21y=76-140$$

將 8y 加到 21y。

$$29y=76-140$$

將 76 加到 -140。

$$29y=-64$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=-\frac{64}{29}$$

在 4x-3y=20 中以 -\frac{64}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-3\left(-\frac{64}{29}\right)=20$$

-3 乘上 -\frac{64}{29}。

$$4x+\frac{192}{29}=20$$

從方程式兩邊減去 \frac{192}{29}。

$$4x=\frac{388}{29}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{97}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{97}{29},y=-\frac{64}{29}$$