解決{l}{7w+2z=16}{5w=2z+8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

解 w、z

$$z=1$$

$$w=2$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2z。

$$5w-2z=8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 w: 將 w 單獨置於等號的左邊。

$$7w+2z=16$$

從方程式兩邊減去 2z。

$$7w=-2z+16$$

將兩邊同時除以 7。

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -2z+16。

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

在另一個方程式 5w-2z=8 中以 \frac{-2z+16}{7} 代入 w在方程式。

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

5 乘上 \frac{-2z+16}{7}。

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

將 -\frac{10z}{7} 加到 -2z。

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{80}{7}。

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{24}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$z=1$$

在 w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7} 中以 1 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 w。

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

將 \frac{16}{7} 與 -\frac{2}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$w=2$$

現已成功解出系統。

$$w=2,z=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2z。

$$5w-2z=8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 w 和 z。

$$w=2,z=1$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2z。

$$5w-2z=8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

讓 7w 和 5w 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

化簡。

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 35w+10z=80 減去 35w-14z=56。

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

將 35w 加到 -35w。 35w 和 -35w 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10z+14z=80-56$$

將 10z 加到 14z。

$$24z=80-56$$

將 80 加到 -56。

$$24z=24$$

將兩邊同時除以 24。

$$z=1$$

在 5w-2z=8 中以 1 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 w。

$$5w-2=8$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$5w=10$$

將兩邊同時除以 5。

$$w=2$$

現已成功解出系統。

$$w=2,z=1$$