解決{l}{62x+y=44}{34x-y=36} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$62x+y=44,34x-y=36$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$62x+y=44$$

從方程式兩邊減去 y。

$$62x=-y+44$$

將兩邊同時除以 62。

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

\frac{1}{62} 乘上 -y+44。

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

在另一個方程式 34x-y=36 中以 -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} 代入 x在方程式。

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

34 乘上 -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}。

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

將 -\frac{17y}{31} 加到 -y。

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

從方程式兩邊減去 \frac{748}{31}。

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{48}{31}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{23}{3}$$

在 x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31} 中以 -\frac{23}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

-\frac{1}{62} 乘上 -\frac{23}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

將 \frac{22}{31} 與 \frac{23}{186} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$62x+y=44,34x-y=36$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$62x+y=44,34x-y=36$$

讓 62x 和 34x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 34，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 62。

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

化簡。

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2108x+34y=1496 減去 2108x-62y=2232。

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

將 2108x 加到 -2108x。 2108x 和 -2108x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$34y+62y=1496-2232$$

將 34y 加到 62y。

$$96y=1496-2232$$

將 1496 加到 -2232。

$$96y=-736$$

將兩邊同時除以 96。

$$y=-\frac{23}{3}$$

在 34x-y=36 中以 -\frac{23}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

從方程式兩邊減去 \frac{23}{3}。

$$34x=\frac{85}{3}$$

將兩邊同時除以 34。

$$x=\frac{5}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$