解決{l}{6y+4x=27}{x+y=50} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6y+4x=27,y+x=50$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$6y+4x=27$$

從方程式兩邊減去 4x。

$$6y=-4x+27$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -4x+27。

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 y+x=50 中以 -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} 代入 y在方程式。

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

將 -\frac{2x}{3} 加到 x。

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

將兩邊同時乘上 3。

$$x=\frac{273}{2}$$

在 y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2} 中以 \frac{273}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

-\frac{2}{3} 乘上 \frac{273}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

將 \frac{9}{2} 加到 -91。

$$y=-\frac{173}{2}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6y+4x=27,y+x=50$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6y+4x=27,y+x=50$$

讓 6y 和 y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

化簡。

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6y+4x=27 減去 6y+6x=300。

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

將 6y 加到 -6y。 6y 和 -6y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-6x=27-300$$

將 4x 加到 -6x。

$$-2x=27-300$$

將 27 加到 -300。

$$-2x=-273$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{273}{2}$$

在 y+x=50 中以 \frac{273}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+\frac{273}{2}=50$$

從方程式兩邊減去 \frac{273}{2}。

$$y=-\frac{173}{2}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$