解決{l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-5y=-36$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$6x=5y-36$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 5y-36。

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

在另一個方程式 -7x+2y=39 中以 \frac{5y}{6}-6 代入 x在方程式。

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

-7 乘上 \frac{5y}{6}-6。

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

將 -\frac{35y}{6} 加到 2y。

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

從方程式兩邊減去 42。

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{23}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{18}{23}$$

在 x=\frac{5}{6}y-6 中以 \frac{18}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

\frac{5}{6} 乘上 \frac{18}{23} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{15}{23}-6$$

將 -6 加到 \frac{15}{23}。

$$x=-\frac{123}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

讓 6x 和 -7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

化簡。

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -42x+35y=252 減去 -42x+12y=234。

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

將 -42x 加到 42x。 -42x 和 42x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$35y-12y=252-234$$

將 35y 加到 -12y。

$$23y=252-234$$

將 252 加到 -234。

$$23y=18$$

將兩邊同時除以 23。

$$y=\frac{18}{23}$$

在 -7x+2y=39 中以 \frac{18}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

2 乘上 \frac{18}{23}。

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

從方程式兩邊減去 \frac{36}{23}。

$$-7x=\frac{861}{23}$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-\frac{123}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$