解 x、y
x=5
y=9
圖表
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6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
6x-\frac{1}{3}y=27
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
6x=\frac{1}{3}y+27
將 \frac{y}{3} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)
將兩邊同時除以 6。
x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}
\frac{1}{6} 乘上 \frac{y}{3}+27。
\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}
在另一個方程式 \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4} 中以 \frac{y}{18}+\frac{9}{2} 代入 x在方程式。
\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}
\frac{4}{5} 乘上 \frac{y}{18}+\frac{9}{2}。
\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}
將 \frac{2y}{45} 加到 \frac{y}{4}。
\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}
從方程式兩邊減去 \frac{18}{5}。
y=9
對方程式的兩邊同時除以 \frac{53}{180}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}
在 x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{1+9}{2}
\frac{1}{18} 乘上 9。
x=5
將 \frac{9}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=5,y=9
現已成功解出系統。
6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)
計算。
x=5,y=9
解出矩陣元素 x 和 y。
6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}
讓 6x 和 \frac{4x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{4}{5}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。
\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}
化簡。
\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5} 減去 \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}。
-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}
將 \frac{24x}{5} 加到 -\frac{24x}{5}。 \frac{24x}{5} 和 -\frac{24x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}
將 -\frac{4y}{15} 加到 -\frac{3y}{2}。
-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}
將 \frac{108}{5} 與 -\frac{75}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=9
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{53}{30}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}
在 \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}
\frac{1}{4} 乘上 9。
\frac{4}{5}x=4
從方程式兩邊減去 \frac{9}{4}。
x=5
對方程式的兩邊同時除以 \frac{4}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=5,y=9
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}