解決{l}{6x+7y=-18}{3x-4y=-9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 18 } \\ { 3 x - 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+7y=-18$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$6x=-7y-18$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-18\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -7y-18。

$$x=-\frac{7}{6}y-3$$

在另一個方程式 3x-4y=-9 中以 -\frac{7y}{6}-3 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{7}{6}y-3\right)-4y=-9$$

3 乘上 -\frac{7y}{6}-3。

$$-\frac{7}{2}y-9-4y=-9$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 -4y。

$$-\frac{15}{2}y-9=-9$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{15}{2}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{15}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{7}{6}y-3 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-7\times 3}&-\frac{7}{6\left(-4\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-4\right)-7\times 3}&\frac{6}{6\left(-4\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}&\frac{7}{45}\\\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}\left(-18\right)+\frac{7}{45}\left(-9\right)\\\frac{1}{15}\left(-18\right)-\frac{2}{15}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

讓 6x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$3\times 6x+3\times 7y=3\left(-18\right),6\times 3x+6\left(-4\right)y=6\left(-9\right)$$

化簡。

$$18x+21y=-54,18x-24y=-54$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+21y=-54 減去 18x-24y=-54。

$$18x-18x+21y+24y=-54+54$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y+24y=-54+54$$

將 21y 加到 24y。

$$45y=-54+54$$

將 -54 加到 54。

$$45y=0$$

將兩邊同時除以 45。

$$y=0$$

在 3x-4y=-9 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x=-9$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=0$$