解決{l}{6x+6y=-6rightarrow}{5x+y=-13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 6 y = - 6 \rightarrow } \\ { 5 x + y = - 13 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+6y=-6,5x+y=-13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+6y=-6$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$6x=-6y-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-6y-6\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -6y-6。

$$x=-y-1$$

在另一個方程式 5x+y=-13 中以 -y-1 代入 x在方程式。

$$5\left(-y-1\right)+y=-13$$

5 乘上 -y-1。

$$-5y-5+y=-13$$

將 -5y 加到 y。

$$-4y-5=-13$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$-4y=-8$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=2$$

在 x=-y-1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2-1$$

將 -1 加到 -2。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+6y=-6,5x+y=-13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-6\times 5}&-\frac{6}{6-6\times 5}\\-\frac{5}{6-6\times 5}&\frac{6}{6-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{24}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{24}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{24}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-13\right)\\\frac{5}{24}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+6y=-6,5x+y=-13$$

讓 6x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$5\times 6x+5\times 6y=5\left(-6\right),6\times 5x+6y=6\left(-13\right)$$

化簡。

$$30x+30y=-30,30x+6y=-78$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 30x+30y=-30 減去 30x+6y=-78。

$$30x-30x+30y-6y=-30+78$$

將 30x 加到 -30x。 30x 和 -30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y-6y=-30+78$$

將 30y 加到 -6y。

$$24y=-30+78$$

將 -30 加到 78。

$$24y=48$$

將兩邊同時除以 24。

$$y=2$$

在 5x+y=-13 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+2=-13$$

從方程式兩邊減去 2。

$$5x=-15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$