解決{l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+3y=25.95$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$6x=-3y+25.95$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -3y+25.95。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

在另一個方程式 4x+6y=26.7 中以 -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

4 乘上 -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}。

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

將 -2y 加到 6y。

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

從方程式兩邊減去 \frac{173}{10}。

$$4y=\frac{47}{5}$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=\frac{47}{20}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40} 中以 \frac{47}{20} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{47}{20} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

將 \frac{173}{40} 與 -\frac{47}{40} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{63}{20}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

讓 6x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

化簡。

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 24x+12y=103.8 減去 24x+36y=160.2。

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

將 24x 加到 -24x。 24x 和 -24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

將 12y 加到 -36y。

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

將 103.8 與 -160.2 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$-24y=-56.4$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=\frac{47}{20}$$

在 4x+6y=26.7 中以 \frac{47}{20} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

6 乘上 \frac{47}{20}。

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

從方程式兩邊減去 \frac{141}{10}。

$$4x=\frac{63}{5}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{63}{20}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$