解決{l}{6x+3y=24}{7x+6y=33} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 24 } \\ { 7 x + 6 y = 33 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+3y=24$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$6x=-3y+24$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+24\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -3y+24。

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

在另一個方程式 7x+6y=33 中以 -\frac{y}{2}+4 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+6y=33$$

7 乘上 -\frac{y}{2}+4。

$$-\frac{7}{2}y+28+6y=33$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 6y。

$$\frac{5}{2}y+28=33$$

從方程式兩邊減去 28。

$$\frac{5}{2}y=5$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{1}{2}y+4 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2} 乘上 2。

$$x=-1+4$$

將 4 加到 -1。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 7}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 7}\\-\frac{7}{6\times 6-3\times 7}&\frac{6}{6\times 6-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{15}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 24-\frac{1}{5}\times 33\\-\frac{7}{15}\times 24+\frac{2}{5}\times 33\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

讓 6x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$7\times 6x+7\times 3y=7\times 24,6\times 7x+6\times 6y=6\times 33$$

化簡。

$$42x+21y=168,42x+36y=198$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 42x+21y=168 減去 42x+36y=198。

$$42x-42x+21y-36y=168-198$$

將 42x 加到 -42x。 42x 和 -42x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y-36y=168-198$$

將 21y 加到 -36y。

$$-15y=168-198$$

將 168 加到 -198。

$$-15y=-30$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=2$$

在 7x+6y=33 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+6\times 2=33$$

6 乘上 2。

$$7x+12=33$$

從方程式兩邊減去 12。

$$7x=21$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=2$$