解決{l}{6x+2y=20}{-4x+y=-11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 20 } \\ { - 4 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+2y=20$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$6x=-2y+20$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -2y+20。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 -4x+y=-11 中以 \frac{-y+10}{3} 代入 x在方程式。

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

-4 乘上 \frac{-y+10}{3}。

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

將 \frac{4y}{3} 加到 y。

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

將 \frac{40}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

將 \frac{10}{3} 與 -\frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

讓 6x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

化簡。

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -24x-8y=-80 減去 -24x+6y=-66。

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

將 -24x 加到 24x。 -24x 和 24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y-6y=-80+66$$

將 -8y 加到 -6y。

$$-14y=-80+66$$

將 -80 加到 66。

$$-14y=-14$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=1$$

在 -4x+y=-11 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+1=-11$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-4x=-12$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$