解決{l}{6x+2y=-6}{3x-y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = - 6 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+2y=-6$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$6x=-2y-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-6\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -2y-6。

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

在另一個方程式 3x-y=9 中以 -\frac{y}{3}-1 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{3}y-1\right)-y=9$$

3 乘上 -\frac{y}{3}-1。

$$-y-3-y=9$$

將 -y 加到 -y。

$$-2y-3=9$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-2y=12$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-6$$

在 x=-\frac{1}{3}y-1 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-6\right)-1$$

-\frac{1}{3} 乘上 -6。

$$x=2-1$$

將 -1 加到 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{6\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{6}{6\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{6}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

讓 6x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$3\times 6x+3\times 2y=3\left(-6\right),6\times 3x+6\left(-1\right)y=6\times 9$$

化簡。

$$18x+6y=-18,18x-6y=54$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+6y=-18 減去 18x-6y=54。

$$18x-18x+6y+6y=-18-54$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+6y=-18-54$$

將 6y 加到 6y。

$$12y=-18-54$$

將 -18 加到 -54。

$$12y=-72$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=-6$$

在 3x-y=9 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-\left(-6\right)=9$$

從方程式兩邊減去 6。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-6$$