解決{l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$6m-5n=-9$$

將 5n 加到方程式的兩邊。

$$6m=5n-9$$

將兩邊同時除以 6。

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 5n-9。

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 4m+3n=65 中以 \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} 代入 m在方程式。

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4 乘上 \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}。

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

將 \frac{10n}{3} 加到 3n。

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$\frac{19}{3}n=71$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=\frac{213}{19}$$

在 m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2} 中以 \frac{213}{19} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

\frac{5}{6} 乘上 \frac{213}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

將 -\frac{3}{2} 與 \frac{355}{38} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=\frac{149}{19}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

讓 6m 和 4m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

化簡。

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 24m-20n=-36 減去 24m+18n=390。

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

將 24m 加到 -24m。 24m 和 -24m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-20n-18n=-36-390$$

將 -20n 加到 -18n。

$$-38n=-36-390$$

將 -36 加到 -390。

$$-38n=-426$$

將兩邊同時除以 -38。

$$n=\frac{213}{19}$$

在 4m+3n=65 中以 \frac{213}{19} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3 乘上 \frac{213}{19}。

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

從方程式兩邊減去 \frac{639}{19}。

$$4m=\frac{596}{19}$$

將兩邊同時除以 4。

$$m=\frac{149}{19}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$